若人は浪人生

東西を股にかける(うろうろする)浪人生の物語

【数学】整数問題の解法と罠 part1

 

 こんにちは、しぃと申します。

 

 

 今回は得意?な整数問題の解法をまとめたいと思います。

 主に自分で解法を整理したいという目的です。

 それでは、早速。

 

 

1.因数分解

 等式を満たす整数の組を求める問題でよくあります。

 

 例題

 

m²+4m = n²-2n+5 を満たす自然数の組(m,n)を求めよ.

 

 

 

 

 

 

 

 

【解説】

二乗の形を見たら

a²-b²=(a+b)(a-b)

を利用することを考えます。

 

(m+2)²-4=(n-1)²+4 と変形できるので、

(m+n+1)(m-n+3)=8

 


ここからが整数問題の肝です。

値の候補を絞り込みます。

 

 

m,nは自然数だから、

m+n+1≧3

また、右辺の因数の和を求めると、

(m+n+1)+(m-n+3)=2(m+2)……偶数

したがって、m+n+1=4, m-n+3=2 であるから、

m=1,n=2

 

 

ポイント

(整数)×(整数)=(定数) の形に持っていく!

 

これにより、右辺の因数を考えることで解の候補が分かります。

 

しかしそれだけでは候補が多すぎる(例えば、負の因数を考える必要がある)ので、上記のように解を絞ったのです。

  • 因数の大小
  • 因縁の和の偶奇

が多いですね。

 

 

√m²+9 が整数となるような整数mを求める、という問題でも方針は同じですね。

 √m²+9=k とおいて二乗してあげればあとは因数分解です。

 

 


以上、因数分解の解法でした。

 

 

 

 

 

 このコーナーはしばらく続きます。

 

 お楽しみに!