【数学】整数問題の解法と罠 part1
こんにちは、しぃと申します。
今回は得意?な整数問題の解法をまとめたいと思います。
主に自分で解法を整理したいという目的です。
それでは、早速。
1.因数分解
等式を満たす整数の組を求める問題でよくあります。
例題
m²+4m = n²-2n+5 を満たす自然数の組(m,n)を求めよ.
【解説】
二乗の形を見たら
a²-b²=(a+b)(a-b)
を利用することを考えます。
(m+2)²-4=(n-1)²+4 と変形できるので、
(m+n+1)(m-n+3)=8
ここからが整数問題の肝です。
値の候補を絞り込みます。
m,nは自然数だから、
m+n+1≧3
また、右辺の因数の和を求めると、
(m+n+1)+(m-n+3)=2(m+2)……偶数
したがって、m+n+1=4, m-n+3=2 であるから、
m=1,n=2
ポイント
(整数)×(整数)=(定数) の形に持っていく!
これにより、右辺の因数を考えることで解の候補が分かります。
しかしそれだけでは候補が多すぎる(例えば、負の因数を考える必要がある)ので、上記のように解を絞ったのです。
- 因数の大小
- 因縁の和の偶奇
が多いですね。
√m²+9 が整数となるような整数mを求める、という問題でも方針は同じですね。
√m²+9=k とおいて二乗してあげればあとは因数分解です。
以上、因数分解の解法でした。
このコーナーはしばらく続きます。
お楽しみに!