思い出の一題【京大2015数学第5問】
こんにちは、ブログをサボりがちなしぃです。
さて、先日全統マーク模試がありました。その数IIBで次のような問題がありました。
ⁿΣᵢ₌₁ i² =1/6×n(n+1)(2n+1)を示せ
（少々見にくい表記ですみませんが有名式なのでご愛嬌）
もちろんセンター（共通テスト）なので誘導に従って解く形式ですが。
誘導では恒等式
(k+1)³-k³=3k²+3k+1
の両辺の和をとっていました。
Σ(f(x+1)-f(x))=f(n+1)-f(1)
を利用した綺麗な求め方ですね。
これに関連して、強烈に覚えている問題を紹介します。
【2015京都大学数学第5問】
a,b,c,d,eを正の実数として整式
f(x)=ax²+bx+c
g(x)=dx+e
を考える.すべての正の整数nに対して
は整数であるとする.
このときf(x)はg(x)で割り切れることを示せ.
2015年の数学は私が初めてフルセットで解いた過去問です。
第1〜4問は大したことはないのですが、第5,6問は厄介です。
とりわけこの第5問は難問だと思います。
第一感として整式が文字で置かれているので割りたくなりますが、得られるものがない。
そして泥沼にハマるのです。
私がこのセットを150分でやったとき、この問題を捨てて他の5問に力を入れてやりました。（受験的には正しい）
そして150分後、この問題をじっくり考えました。
が、全く分からない。
まさに京都大学の洗礼を受けた問題でしたね。
その分、解答を読んだときはまさに眼から鱗。
この問題の解答そのものは載せませんが、この問題の最大のポイントは「差分」の考えですね。
微分が多項式の次数を下げる操作なら、差分は離散的な関数、この場合整数に対応する関数ですが、その次数を下げる操作です。
要はf(n+1)-f(n)を求めるんですね。
冒頭の和の公式を求めるのもこれが背景かも知れない。（一介の浪人生なので詳しいことは分かりませんが）
結構衝撃的な解答だったので、私はそのセットをやろうとしていた友人に
「一問めっちゃムズイ問題あるよw」
と言ってました。
その友人と一緒に勉強（といっても近くで黙々と勉強しているだけですが）していたのでその様子が分かるんですよ。
1時間後、休憩しようとその場を離れるときに彼の答案をチラッとみると、ちょうど第5問を解きはじめていた。
そして10分後。休憩を終えて勉強を再開する。彼の答案をチラッと見る。
完答していた((((；ﾟДﾟ)))))))
後で聞いてみると、なんとなく解いた、みたいな答えが返ってきた。
青本には「かなりの難問」書いてあったぞ。
一応25か年でも見てみる。
難易度B
標準？嘘やろ？
といっても25か年は京大数学に関してはかなり辛口で、難問を示すDが無かった気がするけど。
ちなみに、その友人は無事(余裕！？)に大学に受かりました。
こういうわけで、この問題はかなり印象的な一問でした。
今年こそは「思い出」を「力」に変えたい。
久々に長い記事になりました。
それではまた明日〜（ホント？)
