数弱の証明

　こんにちは、しぃです〜

　さっそく、前回の証明！

x²+y²+z²=2xyz …①
を満たす正の整数の組(x,y,z) が存在しないことを示せ

<解答>

①の右辺は偶数より、左辺も偶数であるから、x、y、zのうち偶数であるものは1つか3つ

(i)x、y、zのうちちょうど1つ偶数のとき
整数nに対し、nが偶数のとき4を法として
n²≡0
nが奇数のとき
n²≡1
であるから
①の左辺≡2
である。一方
①の右辺≡0
であるから等式は矛盾する。
したがってこのとき不適。

(ii)x,y,zが全て偶数のとき
x、y、zのうち、最も2の素因数の個数が少ないものの素因数の個数をn(n≧1)とすると、
(①の左辺)
=2²ⁿ(a²+b²+c²)
ただし、a,b,cは自然数で、少なくとも1つは奇数である。よって
a²+b²+c²≡1,2,3(mod4)
だから、①の左辺の2の素因数の個数は多くとも
2n+1である。
一方、①の右辺の素因数の個数は
3n+1以上である。
しかし、2n+1<3n+1
であるから、等式は矛盾する。
したがって、このとき不適。

(i)，(ii)より、①を満たす正の整数の組は存在しない。

　渾身の証明。

　多分間違えていないと思います。
　数弱の(が行う)証明が、数弱の(である)証明になっていなければ幸いですw

　ちなみに右辺の係数が2に限らず偶数であれば、解は存在しないが分かりますね。

　だが一般の整数kについての証明は険しい……

　それではまた明日〜